FÍSICA QUÂNTICA GENERALIZADA VIBRACIONAL DE ANCELMO L. GRACELI.

MECÂNICA ESTATÍSTICA QUÂNTICA GENERALIZADA DE ANCELMO L. GRACELI.

O ELETROMAGNETISMO QUÂNTICO TENSORIAL DE ANCELMO L. GRACELI

MECÂNICA QUÂNTICA ENTRÓPICA GENERALIZADA OSCILATÓRIA INDETERMINISTA DE ANCELMO L. GRACELI.

COM TENSOR ENTRÓPICO DE GRACELI, E OPERADOR QUÂNTICO DE GRACELI.

[

G

G_{\mu \nu }\

[ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ ].

$G$ * = operador de energias, dimensões de GRACELI e estados de A. L. GRACELI.,

OBSERVAÇÃO . DIMENSÕES DE ANCELMO GRACELI NÃO ESTÁ RELACIONADO COM ESPAÇO E TEMPO.

$G_{\mu \nu }\$ = TENSOR DE ANCELMO L. GRACELI.

E = ENERGIA

lEGG] = ELETROMAGNETISMO GERAL DE ANCELMO L. GRACELI] QUÂNTICO TENSORIAL DIMENSIONAL ENTRÓPICO GENERALIZADO.

COM TENSOR E OPERADOR DE ANCELMO L. GRACELI

[ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ ].

ANCELMO GRACELI - OBRA [5]

$G$ * $G_{\mu \nu }\$ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] [ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

[ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] = tensor eletromagnético.

$G$ * $G_{\mu \nu }\$ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] [ $E=-{\frac {N_{A}Mz^{+}z^{-}e^{2}}{4\pi \epsilon _{o}r_{0}}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)$ (Joules/mol)][ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

equação de Born-Landé fornece o valor da energia reticular de um composto iônico. Em 1918^[1] Max Born e Alfred Landé propuseram que a energia da rede cristalina poderia ser derivada a partir do potencial eletrostático da rede iônica e do termo de energia potencial repulsiva.^[2]

E=-{\frac {N_{A}Mz^{+}z^{-}e^{2}}{4\pi \epsilon _{o}r_{0}}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)

(Joules/mol)

onde

\,N_{A}

= número de Avogadro

\,M

= constante de Madelung, relacionada com a geometria do cristal.

\,z^{+}

= carga do cátions em unidade eletrostática

\,z^{-}

= carga do ânion em unidade eletrostática

\,e

= carga elementar, 1,6022×10⁻¹⁹ C

\,\epsilon _{o}

= permissividade,

\,4\pi \epsilon _{o}

= 8,8541878176×10⁻¹² F m

\,r_{0}

= distância do íon mais próximo em metros

\,{n}

= expoente de Born, um número entre 5 e 12, determinado experimentalmente pela medida de compressibilidade do sólido ou derivado teoricamente.^[3]

Energias de retículos

Os valores fornecidos pela equação de Born-Landé resultam em valores razoáveis para a energia de retículo^[2]

Composto	Energia de retículo calculado	Energia de retículo medida experimentalmente
NaCl	−756 kJ/mol	−787 kJ/mol
LiF	−1007 kJ/mol	−1046 kJ/mol
CaCl₂	−2170 kJ/mol	−2255 kJ/mol

$G$ * $G_{\mu \nu }\$ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] [ $U_{r}=-K_{0}{\frac {N_{A}Mz^{+}z^{-}e^{2}}{r_{0}}}\left(1-{\frac {\rho }{r_{0}}}\right)$ ][ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

A equação de Born-Mayer permite calcular de forma teórica a energia reticular ( $U_{r}$ ) de um cristal iônico. Foi deduzida pelo físico alemão Max Born e pelo químico norte-americano Joseph Edward Mayer em 1932, como um aprimoramento da equação de Born-Landé deduzida pelo mesmo Max Born e por Alfred Landé em 1918.^[1]^[2] A equação da energia reticular é a seguinte:

$U_{r}=-K_{0}{\frac {N_{A}Mz^{+}z^{-}e^{2}}{r_{0}}}\left(1-{\frac {\rho }{r_{0}}}\right)$

denotando-se por:

$N_{A}$ o número de Avogadro;
$�$ a constante de Madelung, relativa à geometria da rede cristalina;
$z^{+}$ a carga dos cátions numa fórmula mínima em unidades de carga elementar;
$z^{-}$ a carga dos ânions numa fórmula mínima em unidades de carga elementar;
$�$ a carga elementar;
$K_{0}$ a constante eletrostática do vácuo;
$r_{0}$ a distância entre os núcleos atômicos dos íons mais próximos (m);
$\rho$ um coeficiente que quantifica a repulsão entre nuvens eletrônicas.

Termo de atração e repulsão eletrostática (energia de Madelung)

$U_{atr}=-K_{0}{\frac {N_{A}Mz^{+}z^{-}e^{2}}{r_{0}}}$

Nesse termo, incluem-se todas as atrações e repulsões eletrostáticas entre íons: atrações entre cargas de diferente sinais e repulsões entre cargas de mesmo sinal; contabilizam-se as interações entre todos os íons, não apenas entre os mais próximos. É o mesmo termo utilizado na equação de Born-Landé e foi obtido em 1918 pelo físico alemão Erwin Madelung.^[3]

$G$ * $G_{\mu \nu }\$ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] [ $U_{atr}=-K_{0}{\frac {N_{A}Mz^{+}z^{-}e^{2}}{r_{0}}}$ ][ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

$G$ * $G_{\mu \nu }\$ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] [ $U_{r}=U_{e}+U_{rep}=-K_{0}{\frac {N_{A}Mz^{+}z^{-}e^{2}}{r}}+bN_{A}\mathbf {e} }^{\frac {-r}{\rho }$ ][ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

$U_{r}=-K_{0}{\frac {N_{A}Mz^{+}z^{-}e^{2}}{r_{0}}}\left(1-{\frac {\rho }{r_{0}}}\right)$

denotando-se por:

$N_{A}$ o número de Avogadro;
$�$ a constante de Madelung, relativa à geometria da rede cristalina;
$z^{+}$ a carga dos cátions numa fórmula mínima em unidades de carga elementar;
$z^{-}$ a carga dos ânions numa fórmula mínima em unidades de carga elementar;
$�$ a carga elementar;
$K_{0}$ a constante eletrostática do vácuo;
$r_{0}$ a distância entre os núcleos atômicos dos íons mais próximos (m);
$\rho$ um coeficiente que quantifica a repulsão entre nuvens eletrônicas.

Dedução

Termo de atração e repulsão eletrostática (energia de Madelung)

$U_{atr}=-K_{0}{\frac {N_{A}Mz^{+}z^{-}e^{2}}{r_{0}}}$

Termo de repulsão eletrostática

Born e Mayer deduziram essa equação a partir de considerações da mecânica quântica. O termo equivalente ao da equação de Born-Landé havia sido obtido com base no modelo atômico de Bohr, que supunha que as densidade eletrônica ao redor do núcleo atômico eram homogênia. Com o desenvolvimento da mecânica quântica Schrödinger criou um novo modelo atômico, considerando o elétron como uma onda. Esse modelo indica que as densidade eletrônica decai exponencialmente à medida que a distância ao núcleo atômico aumenta. Devido a isso, a contribuição da repulsão à energia reticular também deve decair exponencialmente com a distância, o que não era contemplado na primeira equação de Born. A fórmula dessa nova energia potencial de repulsão para qualquer raio $�$ foi escrita em função do coeficiente ρ como uma função exponencial do número de euler:^[4]

$U_{rep}=\mathbf {e} }^{\frac {-r}{\rho }$

Energia reticular

Energias reticulares de halogênios: valores experimentais obtidos com o ciclo de Born-Haber e valores teóricos obtidos com a equação de Born-Mayer (kcal/mol)^[5]
Halogênio	Valor experimental do ciclo de Born-Haber	Valor teórico da equação de Born-Mayer
Fluoreto de lítio, LiF	241,2	240,1
Cloreto de lítio, LiCl	198,2	199,2
Brometo de lítio, LiBr	188,5	188,3
Iodeto de lítio, LiI	175,4	174,1
Fluoreto de sódio, NaF	216,0	213,4
Cloreto de sódio, NaCl	184,7	183,1
Brometo de sódio, NaBr	175,9	174,6
Iodeto de sódio, NaI	164,5	163,9
Fluoreto de potássio, KF	191,5	189,7
Cloreto de potássio, KCl	166,8	165,4

A energia total do cristal é a soma dos dois termos, o de atração e o de repulsão, em função da distância dos íons e para 1 mol do composto:

$U_{r}=U_{e}+U_{rep}=-K_{0}{\frac {N_{A}Mz^{+}z^{-}e^{2}}{r}}+bN_{A}\mathbf {e} }^{\frac {-r}{\rho }$

em que $�$ é uma constante.

A energia reticular ( $U_{r}$ ) corresponde ao valor mínimo dessa energia. Pode-se obter esse valor igualando a zero a derivada da expressão em função de r:

$\left({\frac {dU_{r}}{dr}}\right)_{r=r_{0}}={K_{0}{\frac {N_{A}Mz^{+}z^{-}e^{2}}{r_{0}^{2}}}-{\frac {N_{A}b}{\rho }}\mathbf {e} }^{\frac {-r}{\rho }}=0$

de onde se obtém o valor da constante $�$ do termo de repulsão:

$b=K_{0}{\frac {\rho Mz^{+}z^{-}e^{2}}{r_{0}^{2}{\mathbf {e} }^{\frac {-r_{0}}{\rho }}}}$

Substituindo esse valor na equação da energia total, obtém-se finalmente a fórmula de Born-Mayer:

$U_{r}=-K_{0}{\frac {N_{A}Mz^{+}z^{-}e^{2}}{r_{0}}}\left(1-{\frac {\rho }{r_{0}}}\right)$

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